摘要：为了研究土与结构相互作用对砖石古塔动态特性计算结果的影响规律，建立是否考虑土与结构相互作用时西安小雁塔的数值分析模型，计算了小雁塔的前２阶振型及周期，并将理论计算结果与实测结果进行比较。结果表明：采用理论计算法与数值分析法计算砖石古塔的动态特性时，第１阶周期的计算结果均与实测结果较为接近；第２阶周期的计算结果均与实测结果偏差较大，在考虑土与结构相互作用时，数值计算结果与实测结果偏差反而加大；土与结构相互作用对砖石古塔高阶振型的计算结果影响显著。
关键词：土与结构相互作用；砖石古塔；动态特性；小雁塔；振型
０引 言
砖石古塔是中国古代高层建筑的杰出代表之作，对其结构进行保护具有重要的意义。在砖石古塔的抗震保护与结构加固时，结构的动态特性是确定现存古塔结构的损伤状态与结构动力性能的重要评估依据。然而，因砖石古塔结构具有一定的特殊性，其动态特性主要通过理论计算法、数值分析法、动力测试法获得。采用数值分析法计算结构动态特性时，需要考虑以下因素：①结构的特性，包括结构的尺寸、形状以及结构材料的力学参数等；②计算边界条件，即结构与地基的连接关系。在不考虑土与结构相互作用时，结构自由振动方程式为Ｍｕ．．（ｔ）＋Ｃｕ．（ｔ）＋Ｋｕ（ｔ）＝０（１）式中：Ｍ、Ｃ、Ｋ分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；ｕ．．（ｔ）、ｕ．（ｔ）、ｕ（ｔ）分别为加速度向量、速度向量和位移向量；ｔ为时间。由式（１）计算结构的动态特性时，忽略了地基边界条件的影响［１］，同时由于地基具有无限边界，会给计算带来不便。为了分析地基与结构相互作用以及地基边界条件对结构动态特性计算结果的影响，本文中笔者通过数值计算，就西安小雁塔动态特性的计算结果做进一步分析。
１数值计算模型
１．１模型的建立
为了表征地基无限域的辐射条件，近似考虑远场地基对结构振动效应的影响，将土与砖石古塔结构相互作用系统看作一个整体，并附加人工边界的方式建立数值计算模型［２］，如图１所示。
若地基计算区域选取的足够大，地基外边界处的运动可由自由波动场直接代替。
１．２地基边界条件
采用粘弹性边界条件来模拟地基的边界效应，以下就粘弹性边界条件进行分析。粘弹性边界相当于在边界节点每个方向施加１个一端固定的单向弹簧－阻尼元件，如图２所示，其中 ，Ｋｌｘ、Ｋｌｙ、Ｋｌｚ分别为ｌ节点在ｘ、ｙ、ｚ方向的刚度系数；Ｃｌｘ、Ｃｌｙ、Ｃｌｚ分别为ｌ节点在ｘ、ｙ、ｚ方向的粘性阻尼系数。以粘性阻尼的吸能作用和弹簧的刚性恢复作用模拟远场地基对结构振动的影响，是利用无限域介质本构方程和来自于计算区域内部的单侧外行波表达建立的一种应力边界条件，其节点应力是边界节点位移和速度的函数，一般形式为［３］σｌｉ（ｔ）＝－Ｋｌｉｕｌｉ（ｔ）－Ｃｌｉｕｌｉ（ｔ） （２）式中：σｌｉ（ｔ）、ｕｌｉ（ｔ）分别为ｔ时刻ｌ节点在ｉ方向的应力和位移；ｕｌｉ（ｔ）为ｔ时刻ｌ节点在ｉ方向的速度；Ｋｌｉ、Ｃｌｉ为ｌ节点在ｉ方向的粘弹性边界参数，计算中可由边界尺寸和地基土的物理力学指标确定。弹簧刚度可通过下式计算确定［４］：法向弹簧
μ式中：ｋｐ、ｋｔ分别为法向和切向弹簧刚度系数；Ｌ为设置的边界单元厚度；Ｅｄ为地基土的动剪切模量；μ为地基土的泊松比。粘性阻尼矩阵Ｃ满足方程Ｃ＝βＫ，β为材料的粘性阻尼比，采用式（５）、（６）计算［５］：由法向弹簧确定的边界单元为β＝ρＶｐｋｐ（５）由切向弹簧确定的边界单元为β＝ρＶｓｋｔ（６）式中：ρ为地基土的密度；Ｖｐ、Ｖｓ分别为地基土的纵波波速和横波波速。
２小雁塔动态特性计算
２．１小雁塔概况
小雁塔是唐代密檐式的古塔，建于唐代景龙元年（公元７０７年），是中国著名佛教寺院荐福寺中的佛塔，位于陕西省西安市，为国家级重点保护文物。主体结构采用尺寸３６０ｍｍ×１８０ｍｍ×７０ｍｍ粘土砖错缝砌筑，胶结材料为过滤黄泥，无砂粒、密度大、粘性好，但外部表面风化严重。
小雁塔自建造至今，经历７０多次地震，仍然屹立不倒，显示了良好的抗震性能。塔原高１５层，在１５５６年关中大地震中震损顶部２层，现存１３层，残高４３．３８ ｍ，立 于 边 长２３．３８ｍ的正方形砖基座上，基 座 高３．００ ｍ。塔平 面 为 正 方 形，底 层边 长１１．３８ ｍ，层 高６．８４ｍ，２层以上的高度和宽 度 均代写论文 逐 层 递 减，南北两 面 开 券 洞 （图３）。西安小雁塔结构尺寸如表所示。
小雁塔的地基采用中国传统的素土夯实的地基处理方式（图４），根据地质勘察结果可知：小雁塔地基处理范围大约从塔身起，分别沿前后左右向外拓展了大约３０ｍ，且外边缘部分的处理深度浅，愈向中间，处理的深度愈大，至塔身下，夯土的深度大约为２．０ｍ。
根据文献［６］及小雁塔场地条件，结合计算所需的相关参数，将结构与地基土材料的力学性能指标进行整理分析，如表２所示。
２．２不考虑土与结构相互作用的动态特性计算
不考虑土与结构相互作用时，将古塔结构底部视为固定于地基。虽然小雁塔存在一定程度的倾斜，但结构倾斜对动态特性的计算结果影响很小，计 算 时 不 予 考虑。计算单元采用空间六面体单元，该单元无中间节点，可退化为空间四面体单元，各节点有３个平动自由度。
Ｆ对结构划分单元，建立 有 限 元 模 型 （图５），通过计算给出小雁塔前２阶振型（图６）。
２．３考虑土与结构相互作用的动态特性计算
为了确保计算结果的可靠性，计算中考虑了地基土的非线性及远场地基的影响。
由现场勘察结果可知，小雁塔的地基土包含天然土和人工夯土２种，依据表２中的各参数，采用弹塑性本构模型和Ｍｏｈｒ－Ｃｏｕｌｏｍｂ破坏准则，近似表征地基土的非线性。
研究结果表明：当地基单边尺寸为基础单边尺寸的５倍时就可反映地基与结构的相互作用；当土层厚度达到２倍基础宽度时，底部边界的影响已明显减弱；当土层厚度达到３倍基础宽度时，即可较好地模拟地基土的半无限空间效应［７－８］。因此在分析结构的动态特性时，地基在深度方向的计算范围不小于塔基宽度的３倍，水平方向不小于塔基宽度的５倍即可。考虑小雁塔地基的特殊处理，即塔基周围有宽６０ｍ、深２．０ｍ的夯土，所以地基的计算范围水平方向取６０ｍ，深度方向取３０ｍ，地基水平向边界及底面边界均采用粘弹性边界，建立数值计算模型（图７）。通过计算给出考虑土与结构相互作用时小雁塔东西向与南北向的前２阶振型（图８）。
３砖石古塔动态特性分析
由数值计算可得出，小雁塔在考虑土与结构相互作用与不考虑土与结构相互作用时的前２阶周期，并与理论计算结果和实测结果进行比较［９－１６］，如表３所示。
由表３可以看出，不考虑土与结构相互作用时，由理论计算法与数值分析法得出的第１阶周期与第２阶周期计算结果均与现场测试结果较为接近。考虑土与结构相互作用时，第１阶周期的计算结果均与测试结果偏差不大，且理论计算法与数值分析法的计算结果完全相同，但均较不考虑土与结构相互作用时的计算结果偏大；第２阶周期的理论计算与数值计算的结果均比实测结果偏大，其中数值计算结果约比实测结果大１倍多。由此可见，采用理论计算法与数值分析法计算砖石古塔的动态特性时，第１阶周期的计算结果均较为合理，第２阶周期的计算结果误差较大；同时可以看出，考虑土与结构相互作用后，数值计算的结果与实测结果偏差反而增大。
与现场实测结果比较可知，考虑土与结构相互作用时数值计算结果偏差增大的主要原因在于，考虑土与结构相互作用后，计算得出的振动周期为土与结构系统的周期。可见，土与结构相互作用对砖石古塔结构高阶振型的计算结果影响显著。
４结 语
（１）为了充分模拟地基土的半无限空间效应，采用有限元方法分析土与结构相互作用时，地基的单边尺寸应不小于基础宽度的５倍，土层厚度不小于基础宽度的３倍，并需要附加相应的人工边界，以表征远场地基对结构振动的影响。
（２）将小雁塔理论计算与数值分析的前２阶周期计算结果与现场动力测试结果进行对比，可以看出，采用理论计算法与数值分析法计算砖石古塔的动态特性时，第１阶周期的计算结果均与实测结果较为接近；第２阶周期的计算结果均与实测结果偏差较大，考虑土与结构相互作用时的数值计算结果与实测结果偏差增大。
（３）通过比较分析可知，土与结构相互作用对砖石古塔结构高阶振型的计算结果影响十分显著。
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